18. Η συνάρτηση αx^2 – Μαθηματικά Γυμνασίου & Λυκείου

1 Η συνάρτηση \(αx^2\) με \(α\ne 0\).

1.1 Θεωρία

Η συνάρτηση της μορφής \(y=αx^2\) με \(α \neq 0\) ονομάζεται τετραγωνική συνάρτηση. Πρόκειται για μια αριθμητική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής \(x\), η οποία απεικονίζει το σύνολο των πραγματικών αριθμών \(\mathbb{R}\) (πεδίο ορισμού) σε ένα υποσύνολο των πραγματικών αριθμών (πεδίο τιμών).

H συνάρτησης \(\mathbf{y=αx^2}\)

Γραφική Παράσταση (Παραβολή): Η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης είναι μια συνεχή καμπύλη γραμμή που ονομάζεται παραβολή.
Κορυφή: Η παραβολή διέρχεται από την αρχή των αξόνων \(O(0,0)\), καθώς για \(x=0\) προκύπτει \(y=0\). Το σημείο αυτό αποτελεί την κορυφή της παραβολής.
Άξονας Συμμετρίας: Η καμπύλη είναι συμμετρική ως προς τον άξονα των τεταγμένων (\(y'y\)). Αυτό σημαίνει ότι για αντίθετες τιμές του \(x\) (π.χ. \(x\) και \(-x\)), η συνάρτηση λαμβάνει την ίδια τιμή \(y\).
Ο ρόλος του συντελεστή \(α\):
- Όταν \(α > 0\): Η παραβολή βρίσκεται ολόκληρη πάνω από τον άξονα των \(x\) (στο 1ο και 2ο τεταρτημόριο). Σε αυτή την περίπτωση, η κορυφή \(O(0,0)\) είναι το σημείο όπου η συνάρτηση παρουσιάζει ελάχιστο. Όσο αυξάνεται η απόλυτη τιμή του \(x\), αυξάνεται και το \(y\).
- Όταν \(α < 0\): Η παραβολή βρίσκεται κάτω από τον άξονα των \(x\) (στο 3ο και 4ο τεταρτημόριο). Η κορυφή \(O(0,0)\) είναι το σημείο όπου η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο. Όσο αυξάνεται η απόλυτη τιμή του \(x\), η τιμή του \(y\) μειώνεται (γίνεται πιο αρνητική).
- Απόλυτη τιμή \(|α|\): Η τιμή του \(|α|\) καθορίζει το «άνοιγμα» της παραβολής. Μεγαλύτερο \(|α|\) αντιστοιχεί σε πιο «κλειστή» παραβολή (πιο κοντά στον άξονα \(y'y\)), ενώ μικρότερο \(|α|\) σε πιο «ανοικτή».
Συμμετρία: Οι παραβολές \(y=αx^2\) και \(y=-αx^2\) είναι συμμετρικές μεταξύ τους ως προς τον άξονα των \(x\) (\(x'x\)).

Συμβουλή

Μετακινήστε τον δρομέα α για να δείτε τι συμβαίνει όταν αλλάζει το α της συνάρτησης

1.2 Παραδείγματα

1. Η συνάρτηση \(y = x^2\) (όπου \(α = 1 > 0\)):

Ο πίνακας τιμών για τη σχεδίαση της παραβολής περιλαμβάνει ζεύγη όπως:

Για \(x = 0, y = 0 \rightarrow (0,0)\)
Για \(x = \pm1, y = 1 \rightarrow (1,1), (-1,1)\)
Για \(x = \pm2, y = 4 \rightarrow (2,4), (-2,4)\)
Για \(x = \pm3, y = 9 \rightarrow (3,9), (-3,9)\)

Η καμπύλη είναι στραμμένη προς τα πάνω και έχει ελάχιστο στο \((0,0)\).

2. Η συνάρτηση \(y = -x^2\) (όπου \(α = -1 < 0\)):

Η γραφική της παράσταση είναι η παραβολή της \(y=x^2\) αντικατοπτρισμένη ως προς τον άξονα \(x'x\).

Είναι στραμμένη προς τα κάτω και έχει μέγιστο στο \((0,0)\).

3. Σύγκριση \(y = 2x^2\) και \(y = \dfrac{1}{4}x^2\):

Η \(y = 2x^2\) είναι πιο «στενή» και πλησιάζει γρηγορότερα τον άξονα \(y'y\).
Η \(y = \dfrac{1}{4}x^2\) είναι πιο «ανοιχτή» παραβολή.

1.3 Γενικότερες Μορφές

Η μελέτη της \(y=αx^2\) αποτελεί τη βάση για πιο σύνθετες μορφές:

\(y=αx^2 + γ\): Προκύπτει από κατακόρυφη μετατόπιση της \(y=αx^2\) κατά \(γ\) μονάδες.
\(y=α(x+p)^2\): Προκύπτει από οριζόντια μετατόπιση της \(y=αx^2\) κατά \(-p\) μονάδες.
\(y=αx^2 + βx + γ\): Η γενική μορφή της δευτεροβάθμιας συνάρτησης, η οποία επίσης παριστάνει παραβολή και μπορεί να σχεδιαστεί μέσω μετατοπίσεων αν μετατραπεί στη μορφή \(y=α(x-p)^2 + q\).

1.4 Ασκήσεις

Δίνεται η συνάρτηση \(y=3x^2\).

Να υπολογίσετε:

(y(2))
(y(-1))
(y(0))

Δίνεται η συνάρτηση \(y=-2,5x^2\).

Να συμπληρώσετε τον πίνακα τιμών για:

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y

Για τη συνάρτηση \(y=5x^2\), να βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης που αντιστοιχούν στις τιμές:

(x=-2)
(x=1)
(x=3)

Να βρείτε για ποια τιμή του (x) ισχύει: \(4x^2=36\)
Να εξετάσετε αν το σημείο (A(2,12)) ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης:

\(y=3x^2\)

Δίνεται η συνάρτηση: \(y=\dfrac12 x^2\)

Να υπολογίσετε τις τιμές της για:

x=-4, -2, 0, 2, 4

και να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση.

Να βρείτε την τιμή του \(\alpha\) ώστε το σημείο (A(2,20)) να ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης: \(y=\alpha x^2\)
Δίνεται η συνάρτηση: \(y=-3x^2\)

Να βρείτε τα (x) για τα οποία: y=-27

Συγκρίνετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:

\(y=x^2\) και \(y=4x^2\)

Ποια είναι πιο «στενή»;

Να βρείτε το πρόσημο της συνάρτησης: \(y=7x^2\) για κάθε \(x\in\mathbb{R}\).
Το εμβαδόν ενός τετραγώνου δίνεται από τη σχέση: \(E(x)=x^2\), όπου (x) το μήκος της πλευράς.

Να υπολογίσετε το εμβαδόν όταν:

(x=5,cm)
(x=12,cm)

Ένα μέγεθος ορίζεται από τη συνάρτηση: \(y=8x^2\)

Να βρείτε την τιμή του (y) όταν το (x) διπλασιάζεται από 2 σε 4. Πόσες φορές αυξάνεται το (y);

Η απόσταση ενός σώματος από την αρχική θέση του δίνεται από την σχέση: \(s(t)=2t^2\) (σε μέτρα).

Να βρείτε την απόσταση μετά από:

Για τη συνάρτηση: \(y=\alpha x^2\) η γραφική παράσταση περνά από το σημείο (B(-3,18)).

Να υπολογίσετε το α.

Να βρείτε όλες τις τιμές του \(\alpha\) ώστε το σημείο (A(1,\(\alpha\)) να ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης: \(y=4x^2\)
Να βρείτε την τιμή του \(\alpha\) ώστε η συνάρτηση \(y=\alpha x^2\) να περνά από το σημείο (M(4,48)). Στη συνέχεια να υπολογίσετε την τιμή της για (x=-2).

\[\bbox[yellow, 5px]{\color{blue}\Large\text{---}}\]

Ενέργεια

Συμβουλή

ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ!